khái niệm số thập phân đối với học sinh trung học phổ thông

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "khái niệm số thập phân đối với học sinh trung học phổ thông": http://123doc.vn/document/1051141-khai-niem-so-thap-phan-doi-voi-hoc-sinh-trung-hoc-pho-thong.htm

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
Chương 1:
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ TOÁN HỌC CỦA SỐ
THẬP PHÂN
1.1. Một số kết quả khoa học luận của Brousseau (1998)
Từ các nghiên cứu khoa học luận và việc trình bày số thập phân Brousseau (1998) đã
kết luận rằng:
Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng số thập phân. Những định nghĩa và cách xây dựng
này khác nhau do sự lựa chọn những kiến thức khởi đầu khác nhau. Ngoài ra việc xây dựng khái
niệm số thập phân bằng tiên đề là kiểu định nghĩa cuối cùng của khái niệm số thập phân nói riêng và
của những khái niệm toán học khác nói chung. Brousseau cũng nhấn mạnh rằng cách xây dựng bằng
phương pháp tiên đề cần phải được b
ổ sung thêm các lý thuyết để có thể hiểu được định nghĩa.
Il existe bien des mainières de définir mathématiquement ou de cons-truire les
décimaux. Elles diffèrent par le choix de ce que l’on considère connu comme objets
mathématiques et comme méthode de démonstration, mais leur résultat est le même, en ce
sens qu’il existe un moyen de montrer l’équivalence, l’isomorphisme des structures obtenues.
Chacune de ces constructions axiomatiques est dans le champ des mathématiques ; par
contre, l’étude de ce qui fait leurs différences, les raisons des choix, de ce qui est admis ou
non, de ce qui est important ou non, facile ou non ne relève pas des mathématiques. Une
constructions axiomatique est chargée implicitement d’option épistémologiques, de
présupposés didactiques qu’il faut se garder de croire nécessaires au même titre que les
conclusions mathématiques, mais par lesquels il faut bien passer pour obtenir un discours qui
permet de communiquer la notion. Deux méthodes diffèrent par le choix des axiomes et des
règles de production des théorèmes
1
.
( Brousseau. 1998, trang 201)
Brousseau tóm tắt một số cách xây dựng số thập phân theo hai cách mở rộng hay thu
hẹp một tập số cho trước.

1
Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng khái niệm số thập phân. Chúng phân biệt với nhau thông qua sự lựa chọn các đối tượng
được xem như đã biết và phương pháp chứng minh. Tuy nhiên tập hợp số thập phân là



duy nhất theo nghĩa sai khác một đẳng cấu. Mỗi sự tiên đề hóa trong cách xây dựng số thập phân đều nằm trong phạm vi toán học.
Tuy nhiên việc nghiên cứu sự khác nhau giữa các cách xây dựng này, các lý do lựa chọn những gì đã bi
ết hay chưa biết, cái gì
quan trọng hay không quan trọng, cái gì dẽ hiểu hay khó hiểu… thì không dựa vào toán học. Sự xây dựng bằng tiên đề ngầm ẩn
dựa trên quan điểm tri thức luận và dựa vào việc chọn lựa những kết luận toán học cần thiết mà chúng ta chấp nhận rằng đúng,
nhưng thông qua các kết luận này cần phải lĩnh hội được lý thuyết cho phép vận dụng khái niệm […] (Được chúng tôi dịch)
Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
- Xây dựng số thập phân bằng cách mở rộng Z hay N.
Prenons, par exemple, une construction directe des décimaux D :
. Considéron, dans ZxN, la relation d’équivalence ~
(,,,)Dx
, la classe de (a,n) étant notée
10
n
a

. D = Z x N/

est muni d’opérations stables par pasage au quotient:

(, ) (, ) (.10 .10, )
(, ) (, ) (., )
pp
an bp a b n p
an xbp abn p
  


Qui prolongent les opérations dans N, identifié à
(,0)ND
. Dest ordonné par
( , ) ( , ) .10 .10
np
an bp a b
. Alors
(,,,)Dxest un anneau commutatif unitaire intègre et totalement ordonné.
( Brousseau, 1998, trang 203)
- Xây dựng số thập phân từ việc thu hẹp tập số hữu tỉ.
Exemple : les descimaux sont les rationnels exprimables par une fraction descimale.
(C’est la construction qui sera retenue plus loin)


/( .10
p
DxD px Z  
Dans le processus exposé plus loin nous retiendrons d’abord une extension de N
pour construire directement Q

l’ neseble des nombres rationnels, púi une réduction
de
Q

à D

.
( Brousseau, 1998, trang 201)
• Chướng ngại khoa học luận liên quan đến số thập phân: Bằng cách tổng hợp các
nghiên cứu khoa học và nghiên cứu thể chế dạy học Toán của Pháp mà nhất là Brousseau
(1998), Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) đã nhấn mạnh về một chướng ngại khoa học luận
liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân :
- Tập hợp các số tự nhiên với cấu trúc cộng và cấu trúc thứ tự rời rạc củ
a chúng là một
chướng ngại khi lĩnh hội cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự của tập hợp số thập phân. Đặc
biệt, thứ tự rời rạc của tập hợp số tự nhiên sẽ ngăn cản việc lĩnh hội thứ tự không rời rạc của
tập hợp số thập phân.
Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
- Những lựa chọn Didactic liên quan đến việc xây dựng số thập phân trong thể chế dạy
học Pháp càng làm gia tăng chướng ngại này. Nghĩa là chướng ngại khoa học luận kể trên
cũng là chướng ngại có nguồn gốc didactic
2
(đối với thể chế dạy học của Pháp).

1.2. Cấu trúc đại số của số thập phân.
1.2.1. Số thập phân có cấu trúc vành
Trong lý thuyết toán học: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán hai
ngôi đã cho trong X kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và gọi là phép cộng và phép nhân
sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
1. X cùng với phép cộng là một nhóm aben
2. X cùng với phép nhân là nửa nhóm
3. Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử
,,
x
yz X ta có:
x( y + z) = xy + xz
(y + z)x = yx + zx

Từ đó, khi gọi D là tập các số thập phân, có thể thấy tập số thập phân D có cấu trúc
vành và có các đặc trưng sau :
1.2.2. Số thập phân là một vành giao hoán có đơn vi.
Thật vậy :
1. D cùng với phép cộng là một nhóm aben
+
,, :( ) ( )abc D a b c a b c 
+
,:ab D a b b a 
+
0, :0DaDa a   
+
:( ) : ( ) 0aD a Da a    
2. D cùng với phép nhân là nửa nhóm
,, :( ) ( )a b c D ab c a bc 
3. Phép nhân trong D phân phối đối với phép cộng:
với các phần tử
,,abc D
ta có:
()ab c ab ac 

2
Theo Cornu (1983): Là những chướng ngại gây ra bởi phương pháp giảng dạy. Đó là những chướng ngại hoặc do giáo viên gây
ra hoặc do hệ thống dạy học (bao gồm chương trình, chỉ dẫn của chương trình, thói quen, lựa chọn các ví dụ , …) gây ra.
Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
()bca babc
4. Phép nhân trong D có phần tử đơn vị:
aD : Ta có .1aa


1.2.3. Số thập phân không có cấu trúc trường
Thật vậy, vì một số số thập phân không có phần tử nghịch đảo nên số thập phân không
có cấu trúc trường.
Ví dụ: 0,
3 D ; nhưng
1
0,3
D
.
1.2.4. Số thập phân là tập con của các trường Q và R
Thật vậy, như ta đã biết: mỗi số thập phân là số hữu tỉ, như vậy tập số thập phân là tập
con của các trường Q và R.


1.3. Sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân
1.3.1. Số thập phân có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng viết.
Các dạng viết này có thể xuất hiện như là nghiệm của phương trình hay kết quả khai căn
bậc hai của một số thực, kết quả của tính xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm. Vậy mỗi
dạng viết khác nhau của số thập phân liên hệ với nh
ững vấn đề toán học sinh ra số thập phân
này.
Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng viết như sau:
- Dạng viết thập phân là 2,5.
- Dạng viết phân số là
5
2
(ví dụ khi giải phương trình 2x = 5).
- Dạng viết
a là 6,25 (Ví dụ khi giải phương trình x
2
= 6,25).
- Dạng viết 2 + sin30
o
(Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình lượng giác).
- Dạng viết
11
1
1! 2!

(Dạng viết này có thể xuất hiện khi tính gần đúng số e từ khai triển
Mac Laurin
11 1
1
1! 2! !
x
e
n
   
)

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
1.3.2. Tất cả các số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân. Như vậy, người ta có
thể phân biệt các kiểu số dựa vào dạng viết thập phân của chúng.
- Số thập phân có dạng viết thập phân hữu hạn hoặc vô hạn với chu kỳ 0.
- Số hữu tỉ có thể viết dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn (kể cả số thập phân). Khi
đó
ta xem số thập phân là số có dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ 0 hoặc chu kỳ 9.
Xét các số hữu tỉ
1
3
,
1
4
ta có thể viết các số đó dưới dạng thập phân
1
3
= 0,333
1
4
= 0,25
Và ta nói rằng số hữu tỉ
1
4
được biểu diễn dưới dạng thập phân hữu hạn và số hữu tỉ
1
3
được biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn. Nói rằng
1
4
là thập phân hữu
hạn vì khi biểu diễn
1
4
= 0,25 ta có thể kết thúc ngay ở số 5; trong khi
1
3
là một số thập
phân vô hạn tuần hoàn vì khi biểu diễn
1
3
= 0,333 ta có thể viết thể viết thêm bao nhiêu
chữ số 3 nữa vẫn chưa biểu diễn đúng hẳn được số
1
3
, nhưng nếu muốn kéo dài con số 3
đến bao nhiêu cũng viết được. Cũng như thế, có thể viết

1
7
= 0,1428571
Ở đây, con số 1 (số sau dấu phẩy thứ 7) ta viết dấu” ” vì nếu muốn viết thêm bao
nhiêu số sau dấu phẩy cũng được, chẳng hạn có thể viết:

1
7
= 0,14285714285714 
ư thế trong biểu diễn dạng thập phân của
1
7
, các số 142857 được lặp lại theo thứ
tự đó bao nhiêu lần tùy ý … và ta muốn dừng lại ở số mấy cũng được miễn là đã biểu
diễn đầy đủ 6 con số này tức là quy tắc tuần hoàn của số thập phân vô hạn tuần hoàn
0,1428571 =
1
7


(Toán học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 9).

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
Như vậy chúng ta cần chú ý rằng, chẳng hạn dạng viết 0,333 … không phải là số thập
phân. Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một số thập phân vô hạn tuần hoàn”, điều này
có thể gây hiểu lầm rằng đây là số thập phân. Trong khi đó chỉ là dạng viết thập phân của số
hữu tỉ.
- Số vô tỷ được chứng minh là có dạng viết thập phân vô hạn không tuần hoàn (cách
chứ
ng minh dựa vào tính đếm được và không đếm được trong tập hợp các số)
Người ta chứng minh rằng bất kì một số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn dưới
dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.
Nhưng, với số vô tỉ thì không như thế, người ta cũng chứng minh được rằng bất
kì một số vô tỉ nào cũng biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Chẳng hạn khi viết:

2
= 1,41
Ta không thể từ biểu diễn thập phân này mà có thể viết thêm các số sau dấy
phẩy một cách tùy tiện vì không có quy tắc tuần hoàn.
Nếu viết:
2 = 1,4142
Tương tự như trên, ta chỉ có thể biễu diễn xấp xỉ
2
với 5 con số sau dấu phẩy
và từ năm con số đó không thể suy diễn để viết tiếp những con số thập phân khác vì
2 là số vô tỉ, có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Ngoài ra như định nghĩa trên tập các số hữu tỉ và số vô tỉ, ta có bao hàm thức:

NZQR


( Toán học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 10)
Như vậy chúng ta cũng chú ý
2

không phải là số thập phân nhưng có thể biểu diễn
dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn. Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một
số TP vô hạn không tuần hoàn”, điều này có thể gây hiểu lầm rằng số ấy là số TP. Trong khi
đó chỉ là dạng viết TP của số vô tỉ.
Tóm lại, ta cần phân biệt giữa dạng viết thập phân của một số thực với s
ố thực này.
Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể biểu diễn số thực dưới dạng liên phân số thông qua
số hữu tỉ (nghĩa là có thể nói liên phân số là dạng viết hữu tỉ của số thực).

1.4. Thứ tự không rời rạc của tập số thập phân và tính trù mật của nó trong
Q và R
Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
- Quan hệ thứ tự:
Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ phận của
XxX. Thế thì S được gọi
là một quan hệ thứ tự trong X, nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:
1. (Phản xạ): Với mọi
:aXaSa

2. (Phản đối xứng): Với mọi
,ab X

nếu
aSa
và
bSa
thì a = b.
3. (Bắc cầu): Với mọi
,,abc X nếu aSb và bSc thì aSc
Ta nói một tập X sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự.
Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là một tập được sắp. Nếu với mọi ,ab X


đều có
ab
hoặc
ba
thì X gọi là được sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần). Trong trường
hợp khác thì X gọi là được sắp bộ phận.
Tập con A của một không gian Mêtric X gọi là trù mật trong X nếu
A
X .
Từ các định nghĩa và các cách xây dựng tập số thập phân (D) hoặc bằng cách mở rộng
tập N hoặc bằng cách thu hẹp Q hay tập R (Brossseau 1987) đã chỉ rõ các tính chất đặc trưng
liên quan đến thứ tự của tập D so với N, Q và R.
Tập D phân biệt so với tập N bởi thứ tự không rời rạc.
Chẳng hạn “n là số liền sau của 17” có lời giải trong N, nhưng không có lời giải trong
D (Brossseau 1987, trang 449)
- Tậ
p D là trù mật trong Q hay R
D trù mật trong Q và trù mật trong R vì với một sai số mong muốn cho trước, luôn
tồn tại một số thập phân mà khoảng cách từ số thập phân này đến số thực nhỏ hơn sai số đã
chọn (Brousseau, 1987, trang 450). Nghĩa là
D

R

1.5. Kết luận
• Các tính chất đặc trưng của số thập phân :
- Tập hợp số thập phân là một vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân.
Tập hợp số thập phân không phải là trường vì tồn tại những số thập phân không có
phần tử khả nghịch là số thập phân.
- Thứ tự trên tập hợp số thập phân là thứ tự không rời rạc (nghĩa là không có khái niệm
hai số th
ập phân kề nhau).
Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
- Tập hợp số thập phân là trù mật trong Q và trù mật trong R : với mọi số thực cho
trước, luôn tồn tại 1 dãy các số thập phân hội tụ về số thực này.
• Số thập phân có thể viết dưới nhiều dạng viết. Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng
viết như sau:
- Dạng viết thập phân là 2,5.
- Dạng viết phân số là
5
2
(ví dụ khi giải phương trình 2x = 5).
- Dạng viết
a
là
6, 25
(Ví dụ khi giải phương trình x
2
= 6,25).
- Dạng viết 2 + sin30
o
(Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình lượng giác).
- Dạng viết
11
1
1! 2!

(Dạng viết này có thể xuất hiện khi tính gần đúng số e từ khai triển
Mac Laurin
11 1
1
1! 2! !
x
e
n
   
).
• Các số hữu tỉ và vô tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân. Ví dụ: -
1
3
= 0,333 Đây
là dạng viết thập phân của số hữu tỉ.
-
2 = 1,4142 Đây là dạng viết thập phân của số vô tỉ.
• Chướng ngại liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân :
Cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự rời rạc của tập hợp các số tự nhiên tạo nên một chướng
ngại khoa học luận và có thể là chướng ngại Didactic đối với việc lĩnh hội tập hợp số thập
phân.
Từ các nghiên cứu trên, làm cơ sở cho chúng tôi nghiên cứu câu hỏi :
Q2: Mối quan hệ thể
chế đối với đối tượng số thập phân trong chương trình hiện hành?
Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặp những khó khăn gì khi học khái
niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốc tri thức luận? Những khó khăn nào gây ra do
sự lựa chọn Didactic của thể chế dạy học?






Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
Chương 2 :
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI SỐ THẬP PHÂN Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG


Để làm rõ trong thể chế dạy học Toán trung học phổ thông, chúng tôi buộc phải phân
tích mối quan hệ thể chế đối với đối tượng này trong thể chế dạy học Toán tiểu học và trung
học cơ sở. Bởi vì theo nghiên cứu sơ lược của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) về chương
trình hiện hành thì đối tượng số thập phân cũng chỉ được tập trung nghiên cứu trong hai thể
chế tiểu học và trung h
ọc cơ sở. Như trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất
chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình trên các vấn đề về cấu trúc đại số, thứ tự trong tập
hợp số thập phân và sự phân biệt giữa số thập phân với dạng viết thập phân.
Phân tích chương này chúng tôi dựa vào các sách giáo khoa và chương trình sau đây:
1. Chương trình toán tiểu học hiện hành (2000), Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2. Đỗ Đ
ình Hoan chủ biên (2007), sách giáo khoa Toán 5, NXBGD.
3. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 5, NXBGD.
4. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách giáo khoa Toán 4, NXBGD.
5. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 4, NXBGD.
6. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo viên Toán 5, NXBGD.
7. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo khoa Toán 7, NXBGD.
8. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo viên Toán 7, NXBGD.
9. Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2006), sách đại số 10 nâng cao, NXBGD.
10. Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2006), sách giáo viên đại số 10 nâng cao, NXBGD.

2.1. Thể chế ở trường tiểu họ
c
2.1.1. Ở cấp độ chương trình
Trong chương trình toán hiện hành các phép tính cộng trừ đã được đưa vào chương
trình ở lớp 1 và lớp 2 trong phạm vi các số tự nhiên bé hơn 100. Phép nhân và phép chia
được giảng dạy lần đầu ở lớp 3 trong phạm vi 100 và 1000. Ở đây phân số xuất hiện lần đầu
ở lớp 2 thông qua dạy bài
1
2
, số thập phân được chính thức giảng dạy ở lớp 5.
Liên quan đến số thập phân, chúng tôi tìm thấy những yêu cầu sau:
Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT
Đối với số thập phân chương trình tiểu học yêu cầu nắm:
a) Khái niệm ban đầu về số thập phân. Đọc, viết, so sánh các số thập phân. Viết và chuyển đổi các số
đo đại lượng dưới dạng số thập phân.
b) Phép cộng và phép trừ các số thập phân có đến ba chữ số ở phần thập phân, có nhớ không quá ba
lần.
c) Phép nhân các s
ố thập phân có tới ba tích riêng và phần thập phân của tích có không quá ba chữ
số.
d) Phép chia các số thập phân, trong đó số chia có không quá ba chữ số (cả phần nguyên và phần
thập phân), thương có không quá bốn chữ số, với phần thập phân của thương có không quá ba chữ
số.
e) Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng và phép nhân, nhân một tổng với một số.
f) Thực hành tính nhẩm trong một số trường hợp đơn giản. Tính giá trị
biểu thức số thập phân có
không quá ba dấu phép tính.
(Chương trình hiện tại, trang 17)
Như vậy, số thập phân chưa được nghiên cứu đầy đủ, thể chế chỉ giới hạn nghiên cứu
trên tập
3
D (tập hợp các số thập phân có tối đa 3 chữ số thập phân sau dấu phẩy).

2.1.2. Phân tích sách giáo khoa
A. Phần bài học:
- Ở sách giáo khoa lớp 5 người ta không định nghĩa chính thức số thập phân mà khái niệm số
thập phân được giới thiệu thông qua các ví dụ.
Khái niệm số thập phân được hình thành, giới thiệu thông qua các phân số thập phân
và việc đổi đơn vị độ dài như sau :
a) Từ bảng:
m dm cm mm
0 1
0 0 1
0 0 0 1
 1 dm hay
1
10
m còn được viết thành 0,1m.
 1 cm hay
1
100
m còn được viết thành 0,01 m.
 1mm hay
1
1000
m còn được viết thành 0,001m.