GII TÊCH MẢNG
Trang 12
CHỈÅNG 2
GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ
2.1. GIÅÏI THIÃÛU.
Nhiãưu hãû thäúng váût l phỉïc tảp âỉåüc biãøu diãùn båíi phỉång trçnh vi phán nọ
khäng cọ thãø gii chênh xạc bàòng gii têch. Trong k thût, ngỉåìi ta thỉåìng sỉí dủng cạc
giạ trë thu âỉåüc bàòng viãûc gii gáưn âụng ca cạc hãû phỉång trçnh vi phán båíi phỉång
phạp säú họa. Theo cạch âọ, låìi gii ca phỉång trçnh vi phán âụng l mäüt giai âoản
quan trng trong gii têch säú.
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, thỉï tỉû ca viãûc lm têch phán säú l quạ trçnh tỉìng
bỉåïc chênh xạc chøi giạ trë cho mäùi biãún phủ thüc tỉång ỉïng våïi mäüt giạ trë ca biãún
âäüc láûp. Thỉåìng th tủc l chn giạ trë ca biãún âäüc láûp trong mäüt khong cäú
âënh. Âäü
chênh xạc cho låìi gii båíi têch phán säú phủ thüc c hai phỉång phạp chn v kêch thỉåïc
ca khong giạ trë. Mäüt säú phỉång phạp thỉåìng xun dng âỉåüc trçnh by trong cạc
mủc sau âáy.
2.2. GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ.
2.2.1 Phỉång phạp Euler:
Cho phỉång trçnh vi phán báûc nháút.
),( yxf
dx
dy
=
(2.1)
Khi x l biãún âäüc láûp v y l biãún phủ thüc, nghiãûm phỉång trçnh (2.1) s cọ dảng:
y = g(x,c) (2.2)
Våïi c l hàòng säú â âỉåüc xạc âënh tỉì l thuút trong âiãưu kiãûn ban âáưu. Âỉåìng
cong miãu t phỉång trçnh (2.2) âỉåüc trçnh by trong hçnh (2.1). Tỉì chäù tiãúp xục våïi
âỉåìng cong, âoản ngàõn cọ thãø gi sỉí l mäüt âoản thàóng. Theo cạch âọ, tải mäùi âiãøm
riãng biãût (x
0
,y
0
) trãn âỉåìng cong, ta cọ:
x
dx
dy
y ∆≈∆
0
y
x
∆y
∆x
y = g(x,c)
y
0
x
0
Hçnh 2.1: Âäư thë ca hm säú tỉì
bi gii phỉång trçnh vi phán
0
GII TÊCH MẢNG
Trang 13
Våïi
0
dx
dy
l âäü däúc ca âỉåìng cong tải âiãøm (x
0
,y
0
). Vç thãú, ỉïng våïi giạ trë ban
âáưu x
0
v y
0
, giạ trë måïi ca y cọ thãø thu âỉåüc tỉì l thuút l ∆x:
yyy ∆+=
01
hay
h
dx
dy
yy
0
01
+=
(âàût h = ∆x)
Khi ∆y l säú gia ca y tỉång ỉïng våïi mäüt säú gia ca x. Tỉång tỉû, giạ trë thỉï hai ca y cọ
thãø xạc âënh nhỉ sau.
h
dx
dy
yy
1
12
+=
Khi
),(
11
1
yxf
dx
dy
=
Quạ trçnh cọ thãø tênh tiãúp tủc, ta âỉåüc:
h
dx
dy
yy
2
23
+=
h
dx
dy
yy
3
34
+=
Bng giạ trë x v y cung cáúp cho ton bäü bi gii phỉång trçnh (2.1). Minh ha phỉång
phạp nhỉ hçnh 2.2.
2.2.2. Phỉång phạp biãún âäøi Euler.
Trong khi ỉïng dủng phỉång phạp Euler, giạ trë dy/dx ca khong gi thiãút tênh toạn bàõt
âáưu vỉåüt ra ngoi khong cho phẹp. Sỉû thay thãú âọ cọ thãø thu âỉåüc bàòng cạch tênh toạn
giạ trë måïi ca y cho x
1
nhỉ trỉåïc.
x
1
= x
0
+ h
h
dx
dy
yy
0
0
)0(
1
+=
x
x
0
x
1
x
2
x
3
y
0
y
1
y
2
y
3
h
h
h
y= g(x,c)
Hçnh 2.2 : Âäư thë ca låìi gii xáúp xè
cho phỉång trçnh vi phán bàòng
phỉång phạp Euler
0
y
GII TÊCH MẢNG
Trang 14
Dng giạ trë måïi x
1
v y
1
(0)
thay vo phỉång trçnh (2.1) âãø tênh toạn gáưn âụng giạ trë ca
1
dx
dy
tải cúi khong.
),(
)0(
11
)0(
1
yxf
dx
dy
=
Sau âọ táûn dủng giạ trë y
1
(1)
cọ thãø tçm tháúy båíi dng trung bçnh ca
0
dx
dy
v
)0(
1
dx
dy
nhỉ
sau:
h
dx
dy
dx
dy
yy
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
2
)0(
10
0
)1(
1
Dng x
1
v y
1
(1)
, giạ trë xáúp xè thỉï ba y
1
(2)
cọ thãø thu âỉåüc båíi quạ trçnh tỉång tỉû nhỉ sau:
h
dx
dy
dx
dy
yy
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
2
)1(
10
0
)2(
1
Ta âỉåüc:
h
dx
dy
dx
dy
yy
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
2
)2(
10
0
)3(
1
Quạ trçnh cọ thãø tênh tiãúp tủc cho âãún khi hai säú liãưn nhau ỉåïc lỉåüng cho y l ngang
bàòng nàòm trong phảm vi mong mún. Quạ trçnh hon ton làûp lải thu âỉåüc giạ trë y
2
.
Kãút qu thu âỉåüc cọ sỉû chênh xạc cao hån tỉì sỉû biãún âäøi ca phỉång phạp Euler âỉåüc
minh ha trong hçnh 2.3.
Phỉång phạp Euler cọ thãø ỉïng dủng âãø gii hãû phỉång trçnh vi phán cng lục. Cho hai
phỉång trçnh:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
2
)0(
10
dx
dy
dx
dy
y = g(x,c)
y
x
x
0
x
1
h
y
0
0
dx
dy
Hçnh 2.3 : Âäư thë ca låìi
gii xáúp xè cho phỉång
trçnh vi phán bàòng
phỉång phạp biãún âäøi
Euler.
0
y
1
y
2
dy
(0)
dx
1
GII TÊCH MẢNG
Trang 15
)zy,,(
)zy,,(
2
1
xf
dx
dz
xf
dx
dy
=
=
Våïi giạ trë ban âáưu x
0
, y
0
v z
0
giạ trë måïi y
1
s l:
h
dx
dz
yy
0
01
+=
Våïi:
)z,y,(
0001
0
xf
dx
dy
=
Tỉång tỉû.
h
dx
dz
zz
0
01
+=
Våïi:
),,(
0002
0
zyxf
dx
dz
=
Cho säú gia tiãúp theo, giạ trë x
1
= x
0
+ h, y
1
v z
1
dng âãø xạc âënh y
2
v z
2
. Trong phỉång
phạp biãún âäøi Euler y
1
v z
1
dng âãø xạc âënh giạ trë âảo hm tải x
1
cho âạnh giạ gáưn
âụng cáúp hai y
1
(1)
v z
1
(1)
.
2.2.3. Phỉång phạp Picard våïi sỉû xáúp xè liãn tủc.
Cå såí ca phỉång phạp Picard l gii chênh xạc, båíi sỉû thay thãú giạ trë y nhỉ hm ca x
trong phảm vi giạ trë x â cho.
y ⎟ g(x)
Âáy l biãøu thỉïc ỉåïc lỉåüng båíi sỉû thay thãú trỉûc tiãúp giạ trë ca x âãø thu âỉåüc giạ trë
tỉång ỉïng ca y. Cho phỉång trçnh vi phán (2.1).
dy = f(x,y)dx
V têch phán giỉỵa khong giåïi hản cho x v y.
∫∫
=
1
0
1
0
),(
y
y
x
x
dxyxfdy
Thç
∫
=−
1
0
),(
01
x
x
dxyxfyy
Hay
∫
+=
1
0
),(
01
x
x
dxyxfyy
(2.3)
Säú hảng têch phán trçnh by sỉû thay âäøi trong kãút qu ca y våïi sỉû thay âäøi ca x
tỉì x
0
âãún x
1
. Låìi gii cọ thãø thu âỉåüc båíi sỉû âạnh giạ têch phán bàòng phỉång phạp xáúp xè
liãn tủc.
Ta cọ thãø xem giạ trë ca y nhỉ hm ca x cọ thãø â thu âỉåüc båíi sỉû thay thãú y dỉåïi
dảng têch phán våïi y
0
, cho giạ trë ban âáưu nhỉ sau:
∫
+=
1
0
),(
00
)1(
1
x
x
dxyxfyy
Thỉûc hiãûn biãøu thỉïc têch phán våïi giạ trë måïi ca y báy giåì âỉåüc thay thãú vo phỉång
trçnh (2.3) thu âỉåüc láưn xáúp xè thỉï hai cho y nhỉ sau:
∫
+=
1
0
),(
)1(
10
)2(
1
x
x
dxyxfyy
GII TÊCH MẢNG
Trang 16
Quạ trçnh ny cọ thãø làûp lải trong thåìi gian cáưn thiãút âãø thu âỉåüc âäü chênh xạc mong
mún
Tháût váûy, ỉåïc lỉåüng têch phán ln ln phỉïc tảp thãú nhỉng phi gi thiãút cho
biãún cäú âënh. Khọ khàn v cáưn thỉûc hiãûn nhiãưu láưn têch phán, nãn âáy l màût hản chãú sỉû
ạp dủng ca phỉång phạp ny.
Phỉång phạp Picard cọ thãø ạp dủng âãø gii âäưng thåìi nhiãưu phỉång trçnh nhỉ sau:
),,(
1
zyxf
dx
dy
=
),,(
2
zyxf
dx
d
z
=
Theo cäng thỉïc, ta cọ:
∫
+=
1
0
),,(
00101
x
x
dxzyxfyy
∫
+=
1
0
),,(
00201
x
x
dxzyxfzz
2.2.4. Phỉång phạp Runge- Kutta.
Trong phỉång phạp Runge- Kutta sỉû thay âäøi giạ trë ca biãún phủ thüc l tênh toạn tỉì
cạc cäng thỉïc â cho, biãøu diãùn trong âiãưu kiãûn ỉåïc lỉåüng âảo hm tải nhỉỵng âiãøm âënh
trỉåïc. Tỉì mäùi giạ trë duy nháút chênh xạc ca y cho båíi cäng thỉïc, phỉång phạp ny
khäng âi hi thay thãú làûp lải nhỉ phỉång phạp biãún âäøi Euler hay têch phán liãn tiãúp
nhỉ phỉång phạp ca Picard.
Cäng thỉïc rụt gn gáưn âụng xút phạt båíi sỉû thay thãú khai triãøn chøi Taylor. Runge-
Kutta xáúp xè báûc hai cọ thãø viãút trong cäng thỉïc.
y
1
= y
0
+ a
1
k
1
+ a
2
k
2
(2.4)
Våïi k
1
= f(x
0,
y
0
)h
k
2
= f(x
0
+ b
1
h, y
0
+ b
2
k
1
)h
Cạc hãû säú a
1
, a
2
, b
1
v b
2
l chênh xạc. Âáưu tiãn khai triãøn f(x
0
+ b
1
h, y
0
+ b
2
k
1
) trong
chøi Taylor tải (x
0
,y
0
), ta âỉåüc:
h
y
f
kbh
x
f
byxfk
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
∂
∂
+
∂
∂
+= ),(
0
12
0
1002
Thay thãú hai âiãưu kiãûn k
1
v k
2
vo trong phỉång trçnh (2.4), thu âỉåüc:
2
0
0022
2
0
12002101
),(),()( h
y
f
yxfbah
x
f
bahyxfaayy
∂
∂
+
∂
∂
+++=
(2.5)
Khai triãøn chøi Taylor ca y tải giạ trë (x
0
,y
0
) l:
2
2
0
2
2
0
01
+++=
h
dx
yd
h
dx
dy
yy
(2.6)
Tỉì
),(
00
0
yxf
dx
dy
=
v
),(
00
0
0
0
2
2
yxf
y
f
x
f
dx
yd
∂
∂
+
∂
∂
=
Phỉång trçnh (2.6) tråí thnh.
GII TÊCH MẢNG
Trang 17
2
),(
2
),(
2
00
0
2
0
0001
h
yxf
y
f
h
x
f
hyxfyy
∂
∂
+
∂
∂
++=
(2.7)
Cán bàòng cạc hãû säú ca phỉång trçnh (2.5) v (2.7), ta âỉåüc:
a
1
+ a
2
=1; a
2
b
1
= 1/2; a
2
b
2
= 1/2.
Chn giạ trë ty cho a
1
a
1
= 1/2
Thç a
2
= 1/2; b
1
= 1; b
2
= 1.
Thay thãú giạ trë ny vo trong phỉång trçnh (2.4), cäng thỉïc gáưn âụng báûc hai
Runge-Kutta l:
2101
2
1
2
1
kkyy
++=
Våïi k
1
= f(x
0
,y
0
)h
k
2
= f(x
0
+ h, y
0
+ k
1
)h
Vç thãú.
)(
2
1
21
kky
+=∆
Ạp dủng ca phỉång phạp Runge-Kutta cho viãûc xáúp xè báûc hai âi hi sỉû tênh toạn ca
k
1
v k
2
. Sai säú trong láưn xáúp xè l báûc h
3
båíi vç chøi â càõt sau âiãưu kiãûn báûc hai.
Täíng quạt cäng thỉïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta l:
4433221101
kakakakayy
++++=
(2.8)
Våïi k
1
= f(x
0
,y
0
)h
k
2
= f(x
0
+ b
1
h, y
0
+ b
2
k
1
)h
k
3
= f(x
0
+ b
3
h, y
0
+ b
4
k
2
)h
k
4
= f(x
0
+ b
5
h, y
0
+ b
6
k
3
)h
Tiãúp theo th tủc giäúng nhỉ dng cho láưn xáúp xè báûc hai, hãû säú trong phỉång trçnh (2.8)
thu âỉåüc l:
a
1
= 1/6; a
2
= 2/6; a
3
= 2/6; a
4
= 1/6.
V b
1
= 1/2; b
2
= 1/2; b
3
= 1/2; b
4
= 1/2; b
5
= 1; b
6
= 1.
Thay thãú cạc giạ trë vo trong phỉång trçnh (2.8), phỉång trçnh xáúp xè báûc bäún
Runge-Kutta tråí thnh.
)22(
6
1
432101
kkkkyy
++++=
Våïi k
1
= f(x
0
,y
0
)h
h
k
y
h
xfk )
2
,
2
(
1
002
++=
h
k
y
h
xfk )
2
,
2
(
2
003
++=
hkyhxfk
),(
3004
++=
Nhỉ váûy, sỉû tênh toạn ca ∆y theo cäng thỉïc âi hi sỉû tênh toạn cạc giạ trë ca
k
1
, k
2
, k
3
v k
4
:
∆y = 1/6(k
1
+2k
2
+2k
3
+k
4
)
Sai säú trong sỉû xáúp xè l báûc h
5
.
GII TÊCH MẢNG
Trang 18
Cäng thỉïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta cho phẹp gii âäưng thåìi nhiãưu phỉång
trçnh vi phán.
),,(
zyxf
dx
dy
=
),,(
zyxg
dx
dz
=
Ta co:ï
y
1
= y
0
+1/6 (k
1
+2k
2
+2k
3
+k
4
)
z
1
= z
0
+1/6 (l
1
+2l
2
+2l
3
+l
4
)
Våïi: k
1
= f(x
0
,y
0
,z
0
)h
h
l
z
k
y
h
xfk )
22
,
2
(
1
0
1
002
+++=
h
l
z
k
y
h
xfk )
22
,
2
(
2
0
2
003
+++=
k
4
= f(x
0
+ h, y
0
+ k
3
,z
0
+ l
3
)h
l
1
= g(x
0
,y
0
,z
0
)h
h
l
z
k
y
h
xgl )
22
,
2
(
1
0
1
002
+++=
h
l
z
k
y
h
xgl )
22
,
2
(
2
0
2
003
+++=
l
4
= g(x
0
+ h, y
0
+ k
3
,z
0
+ l
3
)h
2.2.5. Phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi.
Phỉång phạp dỉûa trãn cå såí ngoải suy, hay têch phán vỉåüt trỉåïc, v làûp lải nhiãưu
láưn viãûc gii phỉång trçnh vi phán.
),(
yxf
dx
dy
=
(2.9)
Âỉåüc gi l phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi. Th tủc cå bn trong phỉång phạp dỉû
âoạn sỉía âäøi l xút phạt tỉì âiãøm (x
n
,y
n
) âãún âiãøm (x
n+1
, y
n+1
). Thç thu âỉåüc
1
+n
dx
dy
tỉì
phỉång trçnh vi phán v sỉía âäøi giạ trë y
n+1
xáúp xè cäng thỉïc chênh xạc.
Loải âån gin ca cäng thỉïc dỉû âoạn phỉång phạp ca Euler l:
y
n+1
= y
n
+ y
n
’h (2.10)
Våïi:
n
n
dx
dy
y =
'
Cäng thỉïc chênh xạc khäng dng trong phỉång phạp Euler. Màûc d, trong
phỉång phạp biãún âäøi Euler giạ trë gáưn âụng ca y
n+1
thu âỉåüc tỉì cäng thỉïc dỉû âoạn
(2.10) v giạ trë thay thãú trong phỉång trçnh vi phán (2.9) chênh l y’
n+1
. Thç giạ trë chênh
xạc cho y
n+1
thu âỉåüc tỉì cäng thỉïc biãún âäøi ca phỉång phạp l:
2
)''(
11
h
yyyy
nnnn
++=
++
(2.11)
Giạ trë thay thãú trong phỉång trçnh vi phán (2.9) thu âỉåüc cọ sỉû âạnh giạ chênh xạc hån
cho y’
n+1
, nọ ln ln thay thãú trong phỉång trçnh (2.11) lm cho y
n+1
chênh xạc hån.
GII TÊCH MẢNG
Trang 19
Quạ trçnh tiãúp tủc làûp lải cho âãún khi hai giạ trë tênh toạn liãn tiãúp ca y
n+1
tỉì phỉång
trçnh (2.11) trng våïi giạ trë mong mún cháúp nháûn âỉåüc.
Phỉång phạp dỉû âoạn biãún âäøi kinh âiãøn ca Milne. Dỉû âoạn ca Milne v cäng thỉïc
biãún âäøi, theo äng l:
)'2''2(
3
4
123
)0(
1
nnnnn
yyy
h
yy
+−+=
−−−+
V
)''4'(
3
1111
+−−+
+++=
nnnnn
yyy
h
yy
Våïi:
),('
)0(
111 +++
=
nnn
yxfy
Bàõt âáưu ca sỉû tênh toạn âi hi biãút bäún giạ trë ca y. Cọ thãø â tênh toạn båíi Runge-
Kutta hay mäüt säú phỉång phạp säú trỉåïc khi sỉí dủng cäng thỉïc dỉû âoạn sỉía âäøi ca
Milne. Sai säú trong phỉång phạp l báûc h
5
.
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, phỉång phạp mong mún chn h â nh nãn chè vi láưn
làûp l âi hi thu âỉåüc y
n+1
hon ton chênh xạc nhỉ mong mún.
Phỉång phạp cọ thãø måí räüng cho phẹp gii mäüt säú phỉång trçnh vi phán âäưng
thåìi. Phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi l ạp dủng âäüc láûp âäúi våïi mäùi phỉång trçnh vi phán
nhỉ mäüt phỉång trçnh vi phán âån gin. Vç váûy, thay thãú giạ trë cho táút c cạc biãún phủ
thüc vo trong mäùi phỉång trçnh vi phán l âi hi sỉû âạnh giạ âảo hm tải (x
n+1
, y
n+1
).
2.3. GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÁÛC CAO.
Trong k thût trỉåïc âáy mä t cho viãûc gii phỉång trçnh vi phán báûc nháút cng
cọ thãø ạp dủng cho viãûc gii phỉång trçnh vi phán báûc cao bàòng sỉû âỉa vo ca biãún
phủ. Vê dủ, cho phỉång trçnh vi phán báûc hai.
0
2
2
=++ cy
dx
dy
b
dx
yd
a
Våïi âiãưu kiãûn ban âáưu x
0
, y
0
, v
0
dx
dy
thç phỉång trçnh cọ thãø âỉåüc viãút lải nhỉ hai
phỉång trçnh vi phán báûc nháút.
'y
dx
dy
=
a
cyby
dx
dy
dx
yd +
−==
''
2
2
Mäüt trong nhỉỵng phỉång phạp mä t trỉåïc âáy cọ thãø l viãûc lm âi tçm låìi gii
cho hai phỉång trçnh vi phán báûc nháút âäưng thåìi.
Theo cạch tỉång tỉû, mäüt vi phỉång trçnh hay hãû phỉång trçnh báûc cao cọ thãø quy vãư hãû
phỉång trçnh vi phán báûc nháút.
2.4. VÊ DỦ VÃƯ GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ
.
Gii phỉång trçnh vi phán s minh ha bàòng sỉû tênh toạn dng âiãûn cho mảch RL
näúi tiãúp.
GII TÊCH MẢNG
Trang 20
Cho mảch âiãûn RL trong hçnh 2.4 sỉïc âiãûn âäüng hiãûu dủng khi âọng khọa l:
e(t) = 5t 0 [ t [ 0,2
e(t) = 1 t > 0,2
Âiãûn tråí cho theo âån vë ohms l.
R = 1+3i
2
V âiãûn cm theo âån vë henrys l.
L = 1
Tçm dng âiãûn trong mảch âiãûn theo cạc phỉång phạp sau:
a. Euler’s
b. Biãún âäøi Euler.
c. Xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta
d. Milne’s
e. Picard’s
Bi gii:
Phỉång trçnh vi phán ca mảch âiãûn l.
)(teRi
dt
di
L =+
Thay thãú cho R v L ta cọ:
)()31(
2
teii
dt
di
=++
Âiãưu kiãûn ban âáưu tải t = 0 thç e
0
= 0 v i
0
= 0. Khong chn cho biãún âäüc láûp l:
∆t = 0,025.
a. Phỉång trçnh theo phỉång phạp Euler l.
t
dt
di
i
n
n
∆=∆
i
n+1
= i
n
+∆i
n
Våïi
nnn
n
iie
dt
di
)31(
2
+−=
Thay thãú giạ trë ban âáưu vo trong phỉång trçnh vi phán,
0
0
=
dt
dy
v ∆i
0
. Vç thãú,
dng âiãûn i
1
= 0. Tải t
1
= 0,025; e
1
= 0,125 v
125,00})0(31{125,0
2
1
=+−=
dt
di
∆i
1
= (0,125)0,025 = 0,00313
Thç
i
2
= 0 + 0,00313 = 0,00313
Láûp bng kã kãút qu låìi gii âỉa vo trong bng 2.1
e(t) L
Rt = 0
i(t)
Hçnh 2.4: Sỉû biãøu diãùn ca mảch
âiãûn RL
GII TÊCH MẢNG
Trang 21
Bng 2.1: Gii bàòng phỉång phạp Euler
n
Thåìi gian
t
n
Sỉïc âiãûn âäüng
e
n
Dng
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,225
0,250
0,275
0,300
0,000
0,125
0,250
0,250
0,375
0,500
0.625
0,750
0,875
1,000
1,000
1,000
1,000
0,00000
0,00000
0,00313
0,00930
0,01844
0,03048
0,4534
0,06295
0,08323
0,10611
0,12837
0,15000
0,17100
0,00000
0,12500
0,24687
0,36570
0,48154
0,59444
0,70438
0,81130
0,91504
0,89031
0,86528
0,83988
b. Phỉång trçnh ca phỉång phạp biãún âäøi Euler l.
t
dt
di
i
n
n
∆=∆
)0(
)0()0(
1 nnn
iii ∆+=
+
t
dt
di
dt
di
i
nn
n
∆
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=∆
+
2
)0(
1
)1(
)1()1(
1
nnn
iii ∆+=
+
Våïi
)0(
1
2)0(
11
)0(
1
})(31{
+++
+
+−=
nnn
n
iie
dt
di
Thay thãú giạ trë ban âáưu e
0
= 0 v i
0
= 0 vo trong phỉång trçnh vi phán
0
0
=
dx
di
Do âọ:
0
)0(
0
=∆i
;
0
)0(
1
=i
.
Thay thãú vo trong phỉång trçnh vi phán
0
)0(
1
=i
v e
1
= 0,125
125,00})0(31{125,0
2
)0(
1
=+−=
dt
di
V
00156,0025,0)
2
0125,0
(
)1(
0
=
+
=∆i
Nãn
00156,000156,00
)1(
1
=+=i
t
dt
di
ii
n
nn
∆+=
−
−
1
1
nnn
n
iie
dt
di
)31(
2
+−=
GII TÊCH MẢNG
Trang 22
Trong låìi gii vê dủ cho phỉång phạp, khäng thỉûc hiãûn làûp lải
1
)1(
1
++
=
nn
ii
. Bi gii thu
âỉåüc bàòng phỉång phạp biãún âäøi Euler âỉåüc âỉa vo trong bng 2.2.
Bng 2.2: Bi gii bàòng phỉång phạp biãún âäøi Euler.
n
Thåìi Sỉïc Dng
Gian âiãûn âiãûn i
n
t
n
âäüng e
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,00000 0,125 0,00000 0,12500 0,00156
0,025 0,125 0,00156 0,12344 0,00309 0,250 0,00465 0,24535 0,00461
0,050 0,250 0,00617 0,34383 0,00610 0,375 0,01227 0,36272 0,00758
0,075 0,375 0,01375 0,36124 0,00903 0,500 0,02278 0,47718 0,01048
0.100 0,500 0,02423 0,47573 0,01189 0,625 0,03612 0,58874 0,01331
0.125 0,625 0,03754 0,58730 0,01468 0,750 0,05222 0,69735 0,01606
0.150 0,750 0,05360 0,69594 0,01740 0,875 0,07100 0,80293 0,01874
0,175 0,875 0,07234 0,80152 0,02004 1,000 0,09238 0,90525 0,02133
0,200 1,000 0,09367 0,90386 0,02260 1,000 0,11627 0,87901 0,02229
0,225 1,000 0,11596 0,87936 0,02198 1,000 0,13794 0,85419 0,02167
0,250 1,000 0,13763 0,85455 0,02136 1,000 0,15899 0,82895 0,02104
0,275 1,000 0,15867 0,82935 0,02073 1,000 0,17940 0,80328 0,02041
0,300 1,000 0,17908
c. Phỉång trçnh dng phỉång phạp Runge-Kutta âãø gii.
iite
dt
di
)31()(
2
+−=
Ta cọ:
tiitek
nnn
∆+−= })31()({
2
1
t
k
i
k
i
t
tek
nnn
∆
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−
∆
+=
2
.
2
31)
2
(
1
2
1
2
t
k
i
k
i
t
tek
nnn
∆
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−
∆
+=
2
.
2
31)
2
(
2
2
2
3
[ ]
tkikittek
nnn
∆+++−∆+= )}(.)(31)({
3
2
34
)22(
6
1
4321
kkkki
n
+++=∆
i
n+1
= i
n
+ ∆i
n
Våïi:
e(t
n
) = e
n
2
)
2
(
1
+
+
=
∆
+
nn
n
ee
t
te
e(t
n
+ ∆t) = e
n+1
Thay thãú giạ trë ban âáưu tçm âỉåüc k
1
:
k
1
= 0.
n
dt
di
)0(
n
i∆
1
+n
e
)0(
1
+n
i
)0(
1
+n
dt
di
)1(
n
i∆
GII TÊCH MẢNG
Trang 23
Tçm âỉåüc k
2
:
[]
00156,0025,00)0(31
2
125,00
2
2
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
+
=k
Tçm âỉåüc k
3
:
00154,0025,0
2
00156,0
2
00156,0
31
2
125,00
2
3
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
+
=k
Tçm âỉåüc k
4
:
[ ]
{ }
00309,0025,000154,0)00154,0(31125,00
2
4
=+−+=
k
Thç
00155,0)00309,000308,000312,00(
6
1
0
=+++=∆
i
V i
1
= i
0
+ ∆i
0
= 0+ 0,00155 = 0,00155
Bi gii thu âỉåüc bàòng phỉång phạp Runge-Kutta âỉåüc âỉa vo trong bng 2.3.
d. Cäng thỉïc dỉû âoạn sỉía âäøi ca phỉång phạp Milne l.
)'2''2(
3
4
123
)0(
1
nnnnn
iii
t
ii
+−
∆
+=
−−−+
)''4'(
3
1111
+−−+
++
∆
+=
nnnnn
iii
t
ii
Våïi
n
n
dt
di
i ='
V
nnn
n
iie
dt
di
)31(
2
+−=
Cạc giạ trë ban âáưu âi hi phi thu âỉåüc tỉì låìi gii ca phỉång phạp Runge-Kutta.
Våïi i
0
= 0; i
1
= 0,00155; i
2
= 0,00615; i
3
= 0,01372.
Thay thãú vo phỉång trçnh vi phán, ta cọ:
i’
0
= 0; i’
1
= 0,12345; i’
2
= 0,23485; i’
3
= 0,36127.
Bàõt âáưu tải t
4
= 0,100 v thay thãú vo trong cäng thỉïc dỉû âoạn, ỉåïc lỉåüng âáưu tiãn cho i
4
l:
[]
02418,0)36127,0(224385,0)12345,0(2)025,0(
3
4
0
)0(
4
=+−+=
i
Thay thãú e
4
= 0,500 v i
4
= 0,02418 vo trong phỉång trçnh vi phán, ta âỉåüc:
i’
4
= 0,500 [ 1 + 3(0,02418)
2
]0,02418 = 0,47578
Dỉû âoạn v giạ trë chênh xạc, chè khạc nhau mäüt säú hng tháûp phán vç váûy khäng
âi hi làûp lải nhiãưu láưn. Kãút qu sau tỉìng bỉåïc âỉåüc ghi vo bng 2.4. Tải t
9
giạ trë dỉû
âoạn ca dng âiãûn l 0,11742 nhỉng trong khi giạ trë chênh xạc l 0,11639. Viãûc thỉûc
hiãûn làûp lải båíi sỉû thay thãú giạ trë chênh xạc trong phỉång trçnh vi phán â thu âỉåüc i’
9
=
0,87888. Cỉï láưn lỉåüt dng trong cäng thỉïc sỉía âäøi âãø thu âỉåüc ỉåïc lỉåüng thỉï hai cho i
9
= 0,11640, trỉåïc khi kiãøm tra giạ trë chênh xạc. Thỉûc hiãûn làûp lải trong táút c cạc bỉåïc
âãø âm bo u cáưu chênh xạc.
GII TÊCH MẢNG
Trang 24
Thåìi Sỉïc Dng e
n
+ e
n+1
k
1
k
2
gian âiãûn âiãûn k
1
i
n
+ k
2
i
n
+ k
3
e
n+1
i
n
+ k
3
k
4
∆i
n
t
n
âäüng i
n
2 2 2
e
n
0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,0625 0,00000 0,00156 0,00078 0,00154 0,125 0,00154 0,00309 0,00155
0,025 0,125 0,00155 0,00309 0,1875 0,00310 0,00461 0,00386 0,00459 0,250 0,00614 0,00610 0,00460
0,050 0,250 0,00615 0,00610 0,3125 0,00920 0,00758 0,00994 0,00756 0,375 0,01371 0,00903 0,00757
0,075 0,375 0,01372 0,00903 0,4375 0,01824 0,01048 0,01896 0,01046 0,500 0,02418 0,01189 0,01047
0,100 0,500 0,02419 0,01189 0,5625 0,03014 0,01331 0,03084 0,01329 0,625 0,03748 0,01468 0,01330
0,125 0,625 0,03749 0,01468 0,6875 0,04483 0,01606 0,04552 0,01604 0,750 0,05353 0,01740 0,01605
0.150 0,750 0,05354 0,01740 0,8125 0,06224 0,01874 0,06291 0,01872 0,875 0,07226 0,02004 0,01873
0,175 0,875 0,07227 0,02004 0,9375 0,08229 0,02134 0,08294 0,02132 1,000 0,09359 0,02260 0,02133
0,200 1,000 0,09360 0,02260 1,0000 0,10490 0,02229 0,10475 0,02230 1,000 0,11590 0,02199 0,02230
0,225 1,000 0,11590 0,02199 1,0000 0,12690 0,02167 0,12674 0,02168 1,000 0,13758 0,02137 0,02168
0,250 1,000 0,13758 0,02137 1,0000 0,14827 0,02105 0,14811 0,02105 1,000 0,15863 0,02073 0,02105
0,275 1,000 0,15863 0,02073 1,0000 0,16900 0,02041 0,16884 0,02042 1,000 0,17905 0,02009 0,02041
Bng 2.3: Gii bàòng phỉång phạp Runge-Kutta
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
GII TÊCH MẢNG
Trang 25
Bng 2.4: Bi gii bàòng phỉång phạp ca Milne.
N
Thåìi gian Sỉïc âiãûn Dng âiãûn Dng âiãûn
t
n
âäüng e
n
(dỉû âoạn) i
n
i’
n
(sỉía âäøi) i
n
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,100 0,500 0,02418 0,47578 0,02419
0,125 0,625 0,03748 0,58736 0,03748
0,150 0,750 0,05353 0,69601 0,05353
0,175 0,875 0,07226 0,80161 0,07226
0,200 1,000 0,09359 0,90395 0,09358
0,225 1,000 0,11742 0,87772 0,11639
0,87888 0,11640+
0,250 1,000 0,13543 0,85712 0,13755
0,85464 0,13753+
0,275 1,000 0,16021 0,82745 0,15911
0,82881 0,15912+
0,300 1,000 0,17894 0,80387 0,17898
0,80382 0,17898+
+ : giạ trë sỉía âäøi thỉï hai thu âỉåüc båíi vng làûp
d. Phỉång trçnh dng phỉång phạp Picard hm tỉång âỉång khåíi âáưu cho i, cáûn i
0
= 0 l:
[]
dtiiteii
t
∫
−−+=
0
3
0
3)(
Thay thãú e(t) = 5t v giạ trë ban âáưu i
0
= 0
∫
==
t
t
dtti
0
2
)1(
2
5
5
Thay i
(1)
cho i trong phỉång trçnh têch phán, thu âỉåüc:
56
375
6
5
2
5
8
375
2
5
5
732
0
62
)2(
ttt
dt
tt
ti
t
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
∫
Quạ trçnh tiãúp tủc, ta âỉåüc:
dt
ttttt
ti
t
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−+−=
0
87632
)3(
8
125
7
375
8
375
6
5
2
5
5
56
375
24
5
6
5
2
5
7432
+−+−=
tttt
dt
ttttt
ti
t
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−+−=
0
76432
)4(
7
375
8
375
24
5
6
5
2
5
5
56
375
2424
5
6
5
2
5
75432
+−−+−=
ttttt
Giåïi hản chøi sau säú hản báûc bäún l:
24
5
6
5
2
5
432
ttt
i
+−=
Nãúu hm dng xáúp xè i chênh xạc bäún säú tháûp phán våïi säú hản xáúp xè âáưu tiãn khäng chụ
âãún sai säú låïn thç .
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét